BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dua bidang pengetahuan rasional yang tak diragukan
lagi berhubungan sangat erat sejak dulu sampai sekarang adalah filsafat dan
matematika. Namun hubungan itu sering diuraikan secara keliru oleh sebagian
filsuf maupun ahli matematik. Mungkin karena terkesan oleh perkembangan
filsafat pada zaman dulu, orang memberikan kedudukan utama kepada filsafat.
Akhirnya dalam hubungannya dengan deduksi-deduksi
yang dibuat oleh matematika itu filsuf Inggris C.D. Broad dalam bukunya Scientific
Thought (1949) menegaskan suatu perbedaan lagi antara filsafat dengan
matematik. Dalam bidang matematik orang dengan berpangkal pada aksioma-aksioma
yang tak diragukan atau premis-premis yang dianggap sebagai hipotesa menurunkan
kesimpulan-kesimpulan sampai yang jauh sekali. Sebaliknya filsafat tidak
berminat terhadap kesimpulan-kesimpulan yang jauh, melainkan terutama
bersangkutpaut dengan analisa dan penilaian dari premis-premis semula. Bidang
pengetahuan yang disebut filsafat matematik merupakan hasil pemikiran filsafat
yang sasarannya adalah matematik itu sendiri.
Dalam makalah ini penulis akan membahas filsafat
matematika tentang, hubungan, pola, bentuk, dan rakitan sebagai sasaran
matematika modern. Yang dimana segenap hubungan, pola, dan bentuk serta
sifat-sifat lainnya dari unsur-unsur yang tercermin pada hubungan, pola, dan
bentuk merupakan struktur dari sebuah sistem matematika yang kemudian akan
ditelaah kembali dalam matematika, khususnya oleh cabang matematika yang
dinamakan aritmetika perduaan.
B. Rumusan Masalah
1. Apakah
itu hubungan?
2. Apakah
itu Pola, Bentuk dan Rakitan dalam ilmu matematika?
3. Apa
hubungannya dengan matematika modern?
C. Tujuan
1. Untuk
mengetahui apa itu hubungan.
2. Untuk
mengetahui apa itu pola, bentuk, dan rakitan dalam ilmu matematika.
3. Mengetahui
hubungan pola, bentuk, dan rakitan dalam matematika modern.
BAB II
PEMBAHASAN
HUBUNGAN, POLA, BENTUK, DAN RAKITAN
SEBAGAI SASARAN MATEMATIKA MODERN
Matematika berkembang
sangat luas sejak awal abad ke-19 sehingga dianggap mencapai zaman keemasannya.
Pada abad ke-19 dan abad ke-20 dianggap sebagai masa awal matematika modern
terutama dalam hal hubungan khusus dengan bagian-bagian yang sukar.
Ahli matematika Jerman
yang terbesar dalam abad ke-19 Carl Friedrich Gauss (1777-1885) berpendapat
bahwa “matematika semata-semata menyangkut perincian dan perbandingan dari
hubungan-hubungan). Menurut Gauss sebuah keluasaan tersendiri tidaklah mungkin
dipelajari.[1]
A. Hubungan
Matematika,
ilmu yang di dalamnya hubungan-hubungan yang diketahui di antara
keluasaan-keluasaan dikenakan proses-proses tertentu yang membuat
hubungan-hubungan lainnya dapat diturunkan.
Pengertian
hubungan dalam matematika menurut John Hafstrom bertalian erat dengan artinya,
dalam pemakaian sehari-hari. Sebuah hubungan mencakup dua hal atau lebih yang
memiliki sifat tertentu yang umum di antara mereka, atau yang sama-sama
tercakup dalam suatu himpunan tertentu. Contoh-contoh hubungan dalam matematika
misalnya adalah kesamaan (dua buah bilangan dapat dianggap berhubungan karena
besarnya yang sama), pertimbangan, lebih besar, lebih kecil, atau kesejajaran.[2]
Setiap benda di dunia ini mempunyai hubungan-hubungan yang disebut atau tidak
disebut dengan benda lainnya. Henry Poincare menyatakan bahwa ilmu sesungguhnya
tidak dapat mengetahui benda-benda, melainkan hanyalah hubungan-hubungan.[3]
Tetapi hal-hal yang ingin diketahui oleh para ahli matematika menurut Keyser
adalah hubungan-hubungan abstrak yang pasti, hubungan-hubungan fungsional yang
sepenuhnya ditentukan atau dapat ditentukan, dan kumpulan hubungan-hubungan
yang dapat dipikirkan secara logis. Pandangan tersebut sesuai dengan pandangan
modern mengenai matematika murni yang dipersamakan dengan teori
hipotesis-deduktif yang umum tentang hubungan-hubungan.
B. Pola
Pola
terkadang diartikan sebagai suatu sistem mengenai hubungan-hubungan di antara
perwujudan-perwujudan alamiah. Bilamana perwujudan-perwujudan ilmiah yang
tampaknya rumit atau beranekaragam ditelaah secara mendalam, sering-sering
dengan abstrak dalam pikiran, maka biasanya dapatlah di temukan pola-polanya.
Seorang
matematikawan yang secara tegas merumuskan matematika sebagai pengetahuan yang
menelaah pola adalah W. W. Sawyer. Dia mengatakan bahwa matematika adalah
penggolongan dan penelaahan tentang semua pola yang mungkin.
Perwujudan-perwujudan
dalam alam mempunyai berbagai pola atau keteraturan. Pola-pola yang sama sering
terkandung dalam aneka benda-benda atau keadaan-keadaan yang tampaknya
berbeda-beda. Tetapi, sesekali pola alamiah yang sama itu diketahui dan
dipahami oleh ahli matematika dapatlah diwujudkan menjadi pola dalam
matematika. Misalnya sebuah batu cadas dan sebuah bukit yang mempunyai
perwujudan sebagai berikut:
 |
Setelah
dipelajari oleh ilmu matematika, fenomena gambar di atas yang kelihatannya berlainan
ternyata mengandung pola atau keteraturan yang sepenuhnya sama. Dari sudut
matematika perwujudan gambar di atas merupakan perwujudan dari pola yang
tertuang dalam dalil Pythagoras yang terkenal dengan rumusnya A2
+ B2 = C2.
Dalil
Pythagoras di atas dapat diterapkan dalam berbagai pyramid, candi,
maupun tempat peluncuran anak-anak di kolam renang.
C. Bentuk
Edna
Kramer mengatakan bahwa “Sudut pandang yang kami baru saja kembangkan
pastilah mengungkapkan matematika
sebagai suatu ilmu tentang bentuk, yang tidak perlu dibatasi pada bilangan,
ruang, besaran, atau pengukuran, melainkan sebaliknya bersifat mencakup
semuanya, termasuk logika, ilmu-ilmu murni maupun ilmu-ilmu terapan yang
untuknya ilmu-ilmu murni menyediakan bentuknya”.[4]
Dalam
matematika bentuk menunjukkan pada rakitan dari hubungan-hubungan dan
teori-teori matematika. Ini berkembang, tidak dari suatu penelaahan tentang
bentuk ruang sebagai demikian, melainkan dari analisis mengenai
pembuktian-pembuktian yang terjadi dalam geometri, aljabar, dan
pembagian-pembagian lainnya dari matematika.
Pengertian
mengenai bentuk memegang peran yang penting dalam dalam studi matematika.
Misalnya bentuk dari suatu rumus matematika adalah jauh lebih penting daripada
lambing-lambang yang dipakai dalam suatu rumus dan suatu lambang dapat
digantikan dengan suatu tanda. Misalnya seperti berikut:
(a
+ b)2 = (a + b) x (a + b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
Ahli-ahli
matematika menguraikan atau menelaah bentuk-bentuk atau rakitan-rakitan yang
abstrak dan hubungan-hubungan di antara mereka. Bila kita memahami bilangan
pokok misalnya, ini adalah suatu sifat struktural dari suatu himpunan. Jika
kita mengatakan bahwa ini tersusun secara linear, kita telah menunjukkan suatu
sifat structural yang lain
D. Rakitan
Penelaahan
matematika mengenai rakitan adalah penelaahan tentang segenap rakitan yang
bentuknya dapat diungkapkan dalam lambang-lambang. Sebuah definisi lain mentelaah
bahwa rakitan adalah penelaahan tentang rakitan-rakitan abstrak dan saling
berhubungan diantara mereka.
Penelahaan
terhadap rakitan tersebut merupakan ciri-ciri dari matematika modern yang
membedakannya dengan pengertian matematika kuno sebagai ilmu tentang bilangan
dan ruang. Pandangan dari matematikawan modern ditunjukkan dalam pemakaiannya
yang kerap kali mengenai akar kata “morph” artinya bentuk, seperti dalam
kata-kata homomorphism, isomorphism, dan homeomorphism. Matematikawan memandang
sistem bilangan sebagai sebuah kumpulan struktur-struktur yang saling berkaitan.
Peralihan
dan penitikberatan kepada rakitan itu terjadi karena orang mulai berpendapat
bahwa sasaran matematika berupa bilangan, titik, garis, dan bentuk-bentuk ruang
lainnya sebagai hal yang sungguh-sungguh berwujud tidaklah banyak artinya dalam
matematika. Courant dan Robbins mengatakan, “Apa yang penting dan apa yang
bertalian dengan kenyataan yang dapat diperiksa kebenarannya adalah rakitan dan
hubungan, bahwa dua titik menentukan sebuah garis, bahwa bilangan-bilangan
bergabung menurut aturan-aturan tertentu untuk membentuk bilangan-bilangan
lain, dan sebagainya”.
Selain
definisi di atas, rakitan juga merupakan sebuah istilah yang bersifat agak
mencakup semuanya yang diterapkan bagi hubungan-hubungan logis yang terdapat di
antara berbagai kegiatan yang dilakukan dalam suatu organisasi. Maksudnya
rakitan memberikan suatu susunan yang tertib di antara fungsi-fungsi sehingga
tujuan-tujuan organisasi itu dapat tercapai secara efisien. Struktur mengandung
arti sistem dan pola.
Dari
pemaparan di atas bahwa pengertian rakitan sesungguhnya dapat meliputi bentuk,
pola dan hubungan yang semula telah diuraikan sebagai sasaran-sasaran
matematika tersendiri.
Kini
menjadi semakin tegas bahwa pengertian rakitan sesungguhnya mencakup hubungan,
pola dan bentuk. Dengan demikian, perumusan-perumusan terdahulu mengenai
matematika sebagai studi tentang hubungan-hubungan, studi tentang pola-pola,
dan studi tentang bentuk dapatlah tertampung semuanya kalau orang merumuskan
matematika sebagai studi tentang rakitan.
Selanjutnya
perlu ditegaskan bahwa rakitan yang ditelaah oleh matematika adalah rakitan
dari sistem-sistem matematika.Sebagai contoh mengenai sistem matematika yang
strukturnya ditelaah oleh ahli matematika modern adalah melakukan
perhitungan-perhitungan.
1
+1
10
Dalam
sistem di atas hanya dipergunakan dua angka yaitu angka (0 dan 1) untuk
menyatakan semua bilangan dan melakukan perhitungan sampai jumlah berapa pun.
Maka untuk bilangan dua yang terjadi dari satu tambah satu adalah 10 karena
sistem perpaduannya hanya memakai angka 0 dan 1 serta tidak mengenal
angka-angka lainnya.
Selanjutnya
kalau bilangan dua di atas ditambah dengan satu sehingga menjadi tiga, maka
perhitungan dan penulisannya adalah sebagai berikut:
10
+1
11
Selanjutnya
kalau bilangan tiga di atas ditambah lagi sehingga menjadi bilangan empat, maka
tata cara penulisanna adalah sebagai berikut:
11
+1
100
Hubungan-hubungan
bilangan perpaduan dan aturan-aturan penambahannya dapat disusun menjadi pola
dengan bentuk sebagai berikut:
|
+
|
0
|
1
|
|
0
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
10
|
Segenap
hubungan, pola, dan bentuk serta sifat-sifat lainnya dari unsur-unsur yang
tercermin pada table di atas merupakan struktur dari sebuah sistem matematika
yang disebut binary system (sistem perpaduan). Sistem ini ditelaah dalam
matematika, khususnya oleh cabangnya yang dinamakan aritmetika perpaduan
(binary arithmetic).
BAB
III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Matematika
sebagai ilmu tentang hubungan adalah ilmu yang di dalamnya hubungan-hubungan
yang diketahui di antara keluasaan-keluasaan dikenakan proses-proses tertentu
yang membuat hubungan-hubungan lainnya dapat diturunkan. Sedangkan pola adalah
suatu sistem mengenai hubungan-hubungan di antara perwujudan-perwujudan
alamiah. Sedangkan bentuk memegang suatu peranan yang sangat penting dalam
studi matematika. Dan dari penelaahan tentang bentuk maka akhirnya membawa para
matematikawan kepada struktur dan lahirlah definisi matematika menganai rakitan.
Dan dari kesemua itu maka lahirlah sistem perduaan (binary system), dan
sistem ini akan ditelaah lebih lanjut pada cabang matematika tentang aritmetika
perduaan (binary arithmetic).
B. Saran
Mungkin
akan ada penelitian lebih lanjut mengenai dasar-dasar dari ilmu matematika.
Sehingga akan muncul lebih banyak lagi cabang-cabang matematika dan bertambah
luas lagi pengetahuan kita mengenai matematika. Karena matematika tidak bisa
lepas dari kehidupan kita.
DAFTAR
PUSTAKA
The Liang Gie, Filsafat
Matematika, (Yogyakarta : SUPERSUKSES, 1985).
Yuwono Ari, Filsafat
Matematika, online, http://ariyuwono.blogspot.co.id/2009/03/filsafat-matematika_19html?m=1,
diakses 21 September 2015, Pukul 16:26.
0 komentar:
Posting Komentar